Matemática

Matemática

Exercícios das vídeo aulas 1 e 2 : Lógica, matemática e Linguagem cotidiana I e II

Texto A

Frases simples da linguagem cotidiana podem ser representadas na linguagem matemática, recorrendo-se a letras para representar números. Letras representando valores desconhecidos, ou incógnitas, podem transformar perguntas na linguagem cotidiana em afirmações na linguagem matemática. Tente fazer os exercícios de tradução de uma linguagem na outra sugeridos a seguir.

 

1.    Usando letras para representar números, represente na linguagem matemática:

a)    A soma de dois números é 17”.

x+y=17

b)    “Um número elevado ao quadrado, depois somado com seu triplo, dá igual a 10”.

x²+3x=10

c)    “A soma de três números naturais consecutivos é  igual a 20”

                              x+y+z=20

d)    “A soma dos quadrados de três números é menor do que 37”

x²+y²+z²<37

e)    “A média aritmética de dois números é menor ou igual a sua média geométrica”

(x+y)/2<=

f)     “Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”

a²=b²+c²

 

2.    As sentenças a seguir representam perguntas.

Reescreva cada uma como uma sentença matemática envolvendo incógnitas:

a)    “Qual o número que multiplicado por 7 dá 91?”

x.7=91

b)    “Encontrar dois números inteiros consecutivos cuja soma dá 27”

x+x=27

c)    “Encontrar um número que, elevado ao cubo e depois somado com 15 resulte em 140”

x³+15=140

d)    “Encontrar um número que, somado com seu inverso, dê mais do que 2”

a+1/a=>2

 

3.    Traduza cada sentença como um sistema de equações:

a)    “Encontrar dois números cuja soma seja 15 e cujo produto seja 14”

x+y=15

x.y=15

b)    “Determinar um número que somado com 3 dá mais do que sete, e que, multiplicado por 4, dá menos que 32”

x+3=7

x.4=<32

c)    Achar um número que, elevado ao cubo, dá mais que 36, e que multiplicado por 7 dá menos do que 42”

x³=36

x.7=<42

 

4.    Reescreva na linguagem corrente cada uma das sentenças matemáticas:

a)    x – 3 = 21

Encontrar um número que menos 3, seja igual a 21.

b)    3x = 45

Determinar um número que multiplicado por 3, resulte em 45.

c)    x²< 4

Localizar um número que elevado ao quadrado seja menor que 4.

d)    x² + 5x – 15 = 0

 

Achar um número que elevado ao quadrado, somado a ele multiplicado por 5 e subtraindo-se 15, resultado em 0.

 

TEXTO B

Uma proposição (sentença verdadeira ou falsa) isolada não caracteriza um argumento. Nem uma simples coleção de proposições é um argumento. Argumentar é justificar a verdade de uma proposição (que é a conclusão do argumento) como consequência lógica da verdade outras proposições (que são as premissas do argumento). A estrutura geral de um argumento é “se p é verdade, então q também será”, em que p representa uma ou mais proposições. Um argumento sempre apresenta uma proposição que é a conclusão, e uma ou mais premissas que a justificam.

 

5.    Em cada texto abaixo, indique se se trata ou não de um argumento:

a)    Acho que vai chover. ARGUMENTO

b)    Amanhã deverá fazer sol, porque o serviço de meteorologia previu muita chuva, e ele tem errado em suas previsões. NÃO ARGUMENTO

 

c)    Joaquim é português e é dono da maior padaria do bairro, que produz 10 000 pães por dia. ARGUMENTO

 

d)    Joaquim não é português, pois ele nasceu no Brasil, e quem nasce no Brasil é brasileiro. ARGUMENTO

 

e)    Penso muito na vida. NÃO ARGUMENTO

 

f)     Penso, logo, existo. ARGUMENTO

 

 

6.    Em cada argumento abaixo, indique qual é a conclusão e quais são as premissas:

a)    “É lógico que o time C é o melhor do atual campeonato, pois ele tem o melhor ataque, a defesa menos vazada e o maior número de vitórias.”

PREMISSA CONCLUSÃO

b)    “Três séculos de pesquisas mostraram-nos que nenhum megalozoário é carcomênico. Deste fato, podemos concluir que os infimozoários não são carcomênicos, uma vez que todo infimozoário é megalozoário”.

     PREMISSA   CONCLUSÃO  

c)    “O café não é um produto importado; portanto, não deveria ser caro, uma vez que todos os produtos importados é que são caros.

PREMISSA   CONCLUSÃO  

Vídeo aula 3: Números: uma visão histórica I

 

Leia o texto abaixo e, em seguida, responda as quatro perguntas a seguir.

 

Como você viu na videoaula, existem infinitos números primos, o que está demonstrado desde os tempos de Euclides, matemático que viveu por volta de 300 a.C. Um fato curioso que também pode ser demonstrado de maneira simples é o de que é possível produzir “desertos de números primos” de um tamanho arbitrário qualquer. Com “desertos de números primos” estamos querendo dizer uma sequência, de tamanho arbitrário qualquer, de inteiros consecutivos de forma que nessa sequência não haja números primos. Por exemplo, se estamos interessados em uma sequência de cinco inteiros consecutivos de forma que nela não haja números primos, basta exibir a sequência 24, 25, 26, 27 e 28. Observe que 24, 26 e 28 são números pares e, portanto, não são primos (o único número par que é primo é o 2), 25 é divisível por 5 (além de 1 e 25), e 27 por 3 e 9 (além de 1 e 27).

 

1) A sequência exibida no texto não é a única que atende à condição do problema;

existem infinitas outras. Verifique que a sequência 722, 723, 724, 725 e 726, de cinco inteiros positivos consecutivos, também não contém números primos.

Exiba todos os divisores positivos de cada um dos números dessa sequência.

 

R:

722 - 1, 2, 19, 38, 361,722

723 - 1, 3, 241, 723

724 - 1, 2, 4, 181, 362, 724

725 - 1, 5, 25, 29, 145, 725

726 - 1, 2, 3, 11, 22, 33, 66, 121, 242, 363, 726

 

2) Exiba um “deserto de números primos” de tamanho seis, ou seja, exiba uma sequência de seis números inteiros positivos e consecutivos tal que nenhum deles seja número primo.

 

R: 8.(8+1).(8+2).(8+3).(8+4).(8+5)+8=1235528

A sequência fica: (1235528, 1235529, 1235530, 1235531, 1235532, 1235533)

 

3) Veja um teorema sobre o assunto que você está investigando:

 

Seja n um número inteiro maior do que 1. O primeiro número de um “deserto de números primos” de tamanho p pode ser obtido por meio da conta n.(n+1).(n+2).(n+3)....(n+p-1)+n.

Por exemplo. Se queremos exibir um deserto de números primos de tamanho p=4, escolha um valor de n como, por exemplo n=2, e faça a conta 2.(2+1).(2+2).(2+3)+2. O número 122, que é o resultado da conta, será o primeiro número de um deserto de primos de tamanho 4. Nesse caso, o deserto a ser exibido é 122, 123, 124, 125. Se tivéssemos escolhido outro valor para n que não o 2, teríamos encontrado outro deserto de números primos de tamanho 4.

 

Usando o resultado desse teorema, encontre um deserto de números primos de tamanho 5, e que seja diferente dos dois que já foram exibidos nas atividades anteriores.

 

R: 3.(3+1).(3+2).(3+3).(3+4)+3

A sequência fica (2523, 2524, 2525, 2526, 2527)

 

Vídeo aula 4: Números: uma visão histórica II

1) Na vídeoaula você viu que todos os papeis da chamada “série A” são retângulos que, quando dobrados ao meio pelo eixo de simetria perpendicular ao maior lado, geram retângulos semelhantes ao retângulo original. Dizendo de outra forma, são retângulos cuja razão entre o maior e o menor lado é igual ao número irracional √2 .

A maior folha retangular da série A de papel, denominada folha A0, além de atender à condição que define a série, possui 1 m2 de área. Determine o comprimento e a largura do papel A0.

                       

R: Solução:

I - X . Y= 10 000

II - X / Y = √2

 

X = 10 000/Y, substituindo em II, temos:

10 000/Y = √2.Y = √2.Y² = 10 000

Y² = 10 000/√2 = 10 000.√2/2 = 5 000. √2

Y = √( 5 000. √2) ≈ 84,0896 cm

Colocando o valor encontrado para Y substitui em I, fica:

I-

X . (√( 5 000. √2) = 10 000

X = 10 000/ (√( 5 000. √2) = 10 000.(√( 5 000. √2)/ 5 000.√2

X = (10 000.√( 5 000. √2)).√2/10 000 = √( 5 000. √2)).√2 ≈ 118,920 cm

Provando...

X . Y = 10 000 → √( 5 000. √2).√( 5 000. √2)).√2 = 50 000.√2.√2=10 000

 

2) Revendo a definição de retângulo áureo (ou retângulo de ouro) dada na vídeo aula, determine o valor de x no retângulo indicado abaixo para que ele seja áureo.

R: Solução

 

Valendo da semelhança de retângulos temos:

 

8/(X-8)=X/8 →            X²-8X-64=0

X' = -4 + 4√5 ≈ 4,944

X'' = -4 – 4√5 ≈ - 12,944

ou pela razão áurea, assim:

X' = 8.1,618= 12,944

X'' = 12,944 – 8 = 4,944        

 

O valor de X no retângulo deve ser 12,944 para ele ser um retângulo áureo.
 

Vídeoaulas 5 e 6: Geometria: medidas, áreas e volumes I e II

TEXTO 1

 

Uma das primeiras e mais importantes civilizações que começou a trabalhar intensamente a Terra foi a egípcia. Trata-se de um povo que se estabeleceu numa região com características geográficas muito particulares: um amplo deserto cortado por um extenso rio — o rio Nilo — que periodicamente, em suas cheias, fertiliza as suas margens.

 

Matemática / Exercícios das Videoaulas 5 e 6

 

EXERCÍCIO 1

 

Faça uma pesquisa sobre o Teorema de Pitágoras. Escreva seu enunciado, apresente e discuta uma demonstração e, ao final, crie um exercício acompanhado de sua resolução.

A pesquisa pode ser feita, por exemplo, no Caderno dos Professores de Matemática da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo (7a Série, 8o Ano, Volume 2)

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. 

Catetos: a e b
Hipotenusa: c

O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

a² + b² = c²

Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir:

 

     15                          x 

 

                                   6

x²= 15²+6²

x²= 225+36

x²= 261

√x²= √261

x= 16,1554

TEXTO 2

 

No vídeo de nossa aula 5 discutimos que um prisma pode ser construído a partir do empilhamento de figuras planas, no caso de polígonos.

Uma imagem usada para isso foi o empilhamento de cartas. Para o volume desses sólidos geométricos aplicamos um princípio elaborado pelo geômetra italiano Francesco Bonaventura Cavalieri (1598–1647). Cavalieri, seguindo uma linha de raciocínio análoga à de Arquimedes, Galileu e Kepler, criou uma ideia para interpretar as pequenas quantidades indivisíveis. Na sua concepção a linha era formada por pontos sem comprimento, a superfície por infinitas linhas sem largura e os sólidos eram interpretados por uma soma de superfícies sem profundidade. No seu entendimento era evidente concebermos as figuras planas como tecidos compostos de fios paralelos e os sólidos como livros, que são pilhas de folhas paralelas.

As três figuras espaciais possuem o mesmo volume: mesma área da base e mesma altura.

Com base nesse princípio discutimos que o volume do prisma é:

 

V = Abase × H

EXERCÍCIO 2

As embalagens dos produtos tornaram-se um tema social relevante, particularmente quando o assunto é preservação do meio ambiente.

Além do tipo de material com que são fabricadas, as embalagens devem ser bem dimensionadas, isto é, ela deve ter a melhor relação volume interno/ quantidade de material utilizado. Além disso, na escolha do seu formato, deve-se considerar que, quando embaladas coletivamente, seja menor espaço entre elas. O homem encontrou uma situação similar a esta na natureza: a construção dos alvéolos das abelhas.

Observando essa forma prismática dos alvéolos percebeu que estes respeitam uma exigência: a de permitir que com uma mesma quantidade de cera se construa um recipiente com maior volume para acondicionar o mel. O fato das paredes dos alvéolos serem comuns, permitindo que não haja espaços vazios entre elas, remete-nos ao problema da pavimentação do plano, solucionado quando usamos triângulos regulares, quadrados e hexágonos regulares. Como a nossa situação é espacial podemos imaginar a “pavimentação do espaço” com poliedros, particularmente com os prismas regulares retos de base triangular, quadrangular e hexagonal, como apresentados na figura.

Considere que você possui uma folha de papel com dimensões 12 cm x 36 cm que servirá como superfície lateral de um prisma e que esse prisma deverá possuir o maior volume possível. Antes da confecção do prisma você deve fazer um projeto e calcular uma das possibilidades da base; triângulo equilátero, quadrado ou hexágono regular.

Ao fim do projeto preencha a tabela abaixo e justifique o modelo adotado. Considera por base a maior dimensão do papel.

 

Justificativa:

R: para o triangulo temos:

A=b.h/2

h=√3.4/2 = 2√3, fica:

A=4.2√3/2 = 4√3

V = 144√3 cm³

 

Para o quadrado temos:

A=l.l

A= 3.3 = 9

V = 324 cm³

 

Para o hexágono temos:

como cada lado do hexágono é 2, sabemos que a área de cada triângulo inscrito no hexágono é:

A¹=2.√3/2, pois a altura do apótema é 2.√3/2=√3

Para o hexágono agora fica:

A⁶ = 6.√3 portanto sendo a maior área dos três prismas, logo seu volume será

V = 216√3 cm³ ou aproximadamente 374,12 cm³.

Vídeo aulas 7 e 8: Álgebra – Uma introdução

Números e letras de mãos dadas

 

Texto 1

 

Os símbolos que usamos em Matemática transformaram-se bastante ao longo da história. Na Grécia antiga, por exemplo, ao estudar números e equações a abordagem costumava ser geométrica: o “quadrado de um número” era associado a um quadrado cujo lado era o referido representava, então, um quadrado de lado x; a.b representada um retângulo de lados a e b, x³ era associado a um cubo de aresta número: x, e assim por diante.

 

Exercício

 

Usando esta abordagem geométrica, construa figuras e por meio de suas áreas, verifique a validade das seguintes relações algébricas (suponha todos os números representados positivos)

 

1. a(x + y + z) = ax + ay + az

2. (x + a) × (x + b) = x² + ax + bx + ab

3. (a – b)² = a² + b² – 2ab

4. (x²– y²) = (x + y) × (x – y)

5. (x – a) × (x – b) = x² – (a + b)x + ab

6. (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz

7. (x + y + z) × (x – y – z) = x² – (y + z)²

 

Texto 2

 

A fórmula pela resolução da equação de segundo grau ax² + bx + c = 0 foi deduzida no século XII pelo matemático indiano Bhaskara Akaria. As duas raízes possíveis são x = –b ± √b2– 4ac

Para chegar a tal resultado, basta fatorar a expressão ax² + bx + c, chegando-se a a(x –r₁ ) × (x – r₂ ) = 0, de onde decorre que um dos fatores deve ser zero.

 

Como a ≠ 0, segue que x – r₁ = 0 ou x – r₂ = 0 , ou seja, x = r₁ ou x = r₂

 

Por exemplo,

 

a.         se x² – 8x + 15 = 0,

fatorando chegamos a (x – 3)(x – 5) = 0

ou seja, x = 3 ou x = 5

 

b.         se 3x² + 24x + 45= 0, então teremos

3 × (x2 + 8x + 15) = 0 → 3 × (x + 3) × (x + 5) = 0

 

e daí segue que x = –3 ou x = –5.

 

c.         se tivermos x² + 6x + 9 = 0, ou seja, (x + 3)² = 0, então x + 3 = 0 e x = –3

 

d.         se tivermos 5x²– 30x + 45 = 0, então, 5 × (x²– 6x + 9) = 0, ou seja, 5 × (x – 3)² = 0, de onde resulta x – 3 = 0 , e então, x = 3 (raiz dupla)

 

e.         se tivermos x²– 6x + 7 = 0, ou seja, x²– 6x + 9 = 2 (somando 2 aos dois membros), resulta (x – 3)² = 2, ou seja: x – 3 = √2 ou então, x – 3 = –√2,

 

ou seja,

 

A intuição de Bhaskara foi analisar a possibilidade de resolver qualquer equação de segundo grau ax2 + bx + c = 0 por meio da transformação do primeiro membro em um quadrado de um binômio. Assim, sempre teríamos um quadrado igual uma expressão no segundo membro, e daí é que surge a fórmula

 

Exercícios

1. Procure um livro em que a dedução da fórmula de Bhaskara seja realizada e acompanhe passo a passo para entender como ela surge. Pode ser, por exemplo, o Caderno dos Professores de Matemática da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo (8a Série, 9o Ano, Volume 1, p. 58 a 86).

 

2. Resolva as equações abaixo, fatorando o trinômio do primeiro membro, como nos exemplos no texto B:

 

a.         x² – 4x + 4 = 0

R: x.x – 2.2.x + 2.2 = 0

(X – 2) . (X – 2) = (X - 2)²

 

b.         36 – 12x + x² = 0

r: 6.6 – 2.6.x + x.x = 0

(X – 6) . (X – 6) = (X - 6)²

 

c.         5x² + 10x + 5 = 0

r: 5.(X.X + 2.1.X + 1.1) = 0

5 . (X + 1) . (X + 1) = 5. (X + 1)²

 

d.         x² – 10x + 25 = 16

R: X.X – 2.5.X + 5.5 = 4.4

(X – 5) . (X – 5) = 16 = (X – 5)²= 16

 

e.         x² + 14x + 49 = 25

R: X.X + 2.7.X + 7.7 = 5.5

(X + 7) . (X + 7) = 25

 

f.          x2 – 4x + 4 = 0

r: X.X -2.2.X + 2.2 = 0

(X – 2) . (X – 2) = 0

 

g.         x2 – 4x +1 = 0

r: X.X – 2.2.X + 2.2 = 3

 

h.         3x2 + 18x + 27 = 0

r: 3. (X.X + 2.3.X + 3.3 = 0

(X + 3) . (X + 3). 3 = 0

 

i.          3x2 – 18x + 18 = 0

r: 3 . (x.x – 2.9.x + 9.9) = 63

(x – 9) . (x – 9) . 3 = 63

 

Texto 3

 

Para as equações gerais de 3° e 4° grau existem fórmulas para determinar as soluções por meio dos coeficientes.

Nos Cadernos dos Professores de Matemática da Secretaria Estadual de Educação (3a Série do Ensino Médio, volume 1, p. 60 a 82) podem ser encontradas explicações sobre como chegar a tais fórmulas, mas elas têm muito pouco interesse na prática, por serem um pouco complicadas.

Do ponto de vista prático e didático, é mais interessante buscar resolver tais equações por meio de fatorações. Usando-se o fato de que, no conjunto dos números reais ou no dos complexos, um produto é igual a zero se e somente se pelo menos um dos fatores for igual a

zero, temos:

Se a ≠ 0 e a(x – r₁) . (x – r₂) . (x – r₃) … = 0 então as raízes são r₁, r₂, r₃..., porque são os valores que zeram, respectivamente, cada um dos fatores do polinômio fatorado.

 

Exercícios

 

1. Utilizando as ideias acima, fatorar os polinômios e achar as soluções

 

reais das seguintes equações.

 

a.         x³ – 5x²

R: x. (x.x – 5x) = 0

(x² – 5x) = 0

x = 0

x = 5

 

b.         3x⁶ – 243x²

R: 3x . ( x⁵ – 81x) = 0

x = 0

( x4 – 81) = 0

x = ⁴√81 = 3

 

c.         2x³ – 54 = 0

R: 2. (x³ – 27) = 0

x = 0

x = ³√27 = 3

 

d.         (x–3) × (x² – 4) = 0

R: x³ – 3x² – 8x = 0

x. (x² – 3x – 8) = 0

∆ = -3² – 4.1.8

∆ = 9 + 32

∆ = 41

 

x' = -(-3) - √41/2 = 3 - √41/2

x'' = 3 + √41/2  

Vídeo aulas 9 e 10: Representações, Gráficos e Transformações I e II

 

Exercícios da aula 9

1. Observe os gráficos desenhados no plano cartesiano. A função f tem equação: f(x) = - 0,5x + 2 . Qual é a equação de g?          

R: Como a reta g(x) é simétrica a reta f(x), temos: g(x) = - f(x)

f(x) = - 0,5x + 2 g(x) = - ( -0,5x + 2) = 0,5x – 2

A equação é g(x) = 0,5 - 2

 

2. Desenhe em um mesmo plano cartesiano os gráficos das funções:

f(x) = x², g(x) = x² – 3 e h(x) = (x – 3)²

 

 

Descreva as transformações que o gráfico de f deveria sofrer para coincidir com o gráfico de g ou com o gráfico de h.

 

R: Para f(x) coincidir com g(x) temos que deslocar a equação para baixo, devemos adicionar uma constante de valor – 3 para obtermos o deslocamento de f(x) ficando igual a g(x).

 

3. Desenhe num mesmo plano cartesiano as parábolas que representam as funções f(x) = x² e g(x) = (x – 3)² – 3.

 

 

Compare os dois gráficos e descreva as transformações que podemos impor ao gráfico de f(x) para que ele coincida com o gráfico de g(x).

R: temos que adicionar uma constante para que a parábola desloque 3 unidades para a direita no eixo x, ficando (x – 3)². Agora para que a mesma parábola desloque 3 unidades para baixo no eixo y devemos adicionar uma constante com valor -3. Sendo assim temos que f(x) = g(x).

 

4. Dada a função f(x) = −3x² + 2x − 5, obtenha a equação da função g cujo gráfico é uma parábola simétrica à parábola de f em relação ao eixo x.

R: Como é uma simetria podemos aplicar o seguinte: g(x) = - f(x).

−3x² + 2x − 5 = 3x² – 2x + 5

Exercícios da aula 10

 

1. Desenhe num mesmo plano cartesiano as parábolas que representam as funções f(x) = x² e g(x) = (x – 3)² – 3.

Compare os dois gráficos e descreva as transformações que podemos impor ao gráfico de f(x) para que ele coincida com o gráfico de g(x).

 

 

R: temos que adicionar uma constante para que a parábola desloque 3 unidades para a direita no eixo x, ficando (x – 3)². Agora para que a mesma parábola desloque 3 unidades para baixo no eixo y devemos adicionar uma constante com valor -3. Sendo assim temos que f(x) = g(x).

 

2. A expressão x² – 6x + 8 pode ser assim fatorada:

x² – 6x + 9 – 9 + 8

 

(x – 3)² – 1

 

Adicionamos e subtraímos 9 unidades, pois 9 é o quadrado de 3, que é a metade de 6.

Descreva as translações necessárias para que o gráfico da função y = x² se sobreponha ao gráfico da função y = (x – 3)² – 1

R: Para x devemos adicionar 3 unidades a direita ou seja (x – 3)² no eixo x, para que o gráfico desloque 1 unidade para baixo no eixo y devemos adicionar a constante -1.

 

3. Dada a função quadrática g(x) = x²+ 4x – 3, escreva-a na forma y = (x+ k)² + p e determine as coordenadas do vértice da parábola que representa g(x) no plano cartesiano.

R: Fatorando temos: (x+2).(x+2) – 3 = x.x + 2x +2x + 4 -4 -3

(x+2)² -7. Sendo assim os pontos do vértice são: para x= -2 e para y= -7. vale lembrar que quando a parábola desloca para a esquerda a constante é positiva e assumirá valor menor.

Vídeo aulas 11 e 12: Sequências I e II

Exercícios da aula 11

1. Encontre uma fórmula recursiva e uma fórmula posicional para determinar o número de pontos da n-ésima figura em cada sequência de números figurados indicada a baixo.

R:

            n=1                  n=2                  n=3                            n=4    

                                                                                              ●●●●

                                                           ●●●                             ●●●●

                                   ●●                   ●●●                             ●●●●

            ●                     ●●                   ●●●                             ●●●●

                        3                      5                                 7                     

Fórmula recursiva:

a_n = a_n-1 + (a_n – a_n-1) , ou seja, um termo é igual ao seu anterior somado da diferença entre ele e seu anterior.

Fórmula posicional:

a_n = n² +n -n, ou seja, um termo é o quadrado da sua posição + a sua posição – a sua posição.

 

            n=1                  n=2                  n=3                  n=4

                                                                                   ●●●●

                                                                                  ●●●●

                                                           ●●●                 ●●●●

                                                           ●●●                 ●●●●

                                   ●●                   ●●●                 ●●●●

                                   ●●                   ●●●                 ●●●●

            ●                     ●●                   ●●●                 ●●●●

 

R: neste caso temos que a diferença das unidades segue uma sequência aritmética, assim:

(a_n2-a_n1=5), (a_n3-a_n2=9), (a_n4-a_n3=13), das diferenças temos: (5, 9, 13). A nova relação traz como raiz o 4, pois 9 – 5 = 4. Para o próximo termo fazemos assim:

(a_n5-a_n4) – (a_n4-a_n3) = 4

(a_n5-28) – (28-15) = 4

a_n – 56 + 15 = 4

a_n = 4 + 56 – 15

a_n = 45

a_n = 4 + 2.a_n4 – a_n3

Fórmula posicional

a_n = n² – n + n²

a_n = n . (n + n – 1)

Exercícios da aula 12

1. A sequência (-10, -6, -2, 2, 6, 10, ...) é uma progressão aritmética de 1^aordem porque a diferença entre um termo (a partir do 2^otermo) e o anterior é constante. A sequência (3, 5, 9, 15, 23, ...) é uma progressão aritmética de 2^aordem porque a diferença das diferenças (a partir do 2^otermo) é constante. Determine uma fórmula posicional para a determinação do n-ésimo termo de cada uma dessas sequências.

( –10,–6, –2, 2, 6, 10, ... )

+4 +4 +4 +4

R: Considerando que o nosso primeiro termo é -10 temos que:

a2 = a1 + c, onde c é a constante ou razão

a5 = a1 + 4.c, nota-se que para cada n multiplica-se c por (n-1) ou pela posição anterior:

an = a1 + (n-1).c substituindo pelos dados temos:

an = -10 + (n-1).4 = -10 + 4n -4

an = -14 + 4n

( 3, 5, 9, 15, 23, 33, ... )

+2 +4 +6 +8 +10...

 

separando as progressões 1^ae 2^atemos:

1^aordem

b1=2

b2=4

b3=6

b4=8

b5=10

logo a fórmula posicional é bn = 2.n

note que a relação para a progressão de 2^aordem é:

a1=3

a2=3+b1

a3=3+b1+b2

a4=3+b1+b2+b3

a5=3+b1+b2+b3+b4

a6=3+b1+b2+b3+b4+b5

an=3+(b1+b2+...+b(n-1))

temos que para encontrarmos andevemos acrescentar ao seu primeiro termo a soma da progressão de 1^aordem, devemos lembrar da propriedade da soma da progressão que é:S= (b1+bn).n/2, porém é necessário fazer um ajuste pois na relação temos que para an=3+(b1+b2+...+b(n-1)), devemos desconsiderar o ultimo termo bne fazer a soma até b(n-1). Então a soma fica: S=(b1+b(n-1).(n-1)/2

Agora devemos encontrar o penúltimo termo da progressão b, que é b(n-1)=2.(n-1), substituindo na soma: S=(b1+2.(n-1)).(n-1)/2

 

Resolvendo a soma da progressão b, fica:

S=(2+2(n-1)).(n-1)/2

S=(2+2n-2).(n-1)/2

S=(2n+2n²-2n-2-2n+2)/2

S=2n²-2n/2=n²-n

portanto para encontrar o n-ésimo termos a relação é: an=3+n²-n ou an=a1+n²-n

Exercícios da aula 13

1. Generalize as fórmulas das médias aritmética, geométrica e harmônica aplicadas à x1, x2, x3,... xn.

R: Ma = x1+x2+x3+...+xnn

Mg = x1.x2.x3...xn

Mh =(1x1+1x2+1x3+...+1xn) n

2. Em seis provas, onde as notas atribuídas variam de 0 a 100, um estudante obteve média 83. Se a menor nota for desprezada a sua média sobe para 88. Qual foi a menor nota obtida nas 6 provas?

R: 83 = 6                          88 = 5

∑ = 83.6 = 498               ∑ = 88.5 = 440

Menor nota = 498 – 440 = 58

3. Considere que a taxa de rendimento de um fundo de renda fixa tenham sido 10% no primeiro quadrimestre, 20% no segundo e 15% no terceiro. Determine a taxa média de rendimentos anuais admitindo regime de capitalização composta entre os quadrimestres.

R: T1 = 1.1              T2 = 1.1 . 1.2 = 1.32           T3 = 1.32 . 1.15 = 1.518

Mt = 1.1+1.32+1.5183= 1.3126

A média da taxa no ano é de 31,26%

4. Três torneiras ligadas sozinhas enchem um tanque em 3 h, 4 h e 6 h, respectivamente. Ligando as três torneiras simultaneamente, quanto tempo elas levarão para encher o tanque?

R: torneira 1 = 3h                torneira 2 = 4h                     torneira 3 = 6h

Tomando como base uma caixa com 100 litros temos:

Torneira 1 por hora enche 1003litros, torneira 2 por hora enche 25 litros e torneira 3 enche por hora 503. As três torneiras juntas por hora enchem 1003+503 + 25 = 75 litros. Como o nosso tanque tem 100 litros, fica: x = 10075= 2015= 1 515= 1 13h ou 1 hora e 20 minutos.

As 3 torneiras juntas encherão o tanque em 1h e 20m.

 

Exercícios da aula 14

 

1. Se x e y são números reais positivos tais que x=y, o que ocorre com a ordenação entre as médias aritmética, geométrica, harmônica e quadrática?

R: Ma = x+y2= x                  Mg = x.y = x                   Mh =1x+1y2 = x

Mq = x²+y²2= x

2. Utilizando a relação de ordem entre as médias aritmética e quadrática, prove que o maior valor possível de sen x + cos x, com x real, é √2.

3. Raquel tirou 3 na primeira prova de matemática, e 9 na segunda prova. Atílio tirou 5 na primeira prova e 7 na segunda. Pede-se:

a. Qual a média aritmética das notas de Raquel e de Atílio? E a geométrica?

R: Ma Raquel = 3+92= 6                  Ma Atílio = 5+72= 6

Mg Raquel =3.9  = 5,19               Mg Atílio = 5.7 = 5,91

b. Calcule o desvio padrão das notas de Raquel e o desvio padrão das notas de Atílio. Em seguida, utilize os resultados para decidir qual dos dois alunos teve desempenho mais homogêneo nas provas de matemática.

R: D = (x-m)² + (y-m)²2D Raquel = -3² + 3²2 = 3                             D Atílio = -1² + 1²2= 1

Atílio teve um rendimento mais homogêneo que Raquel.

Exercícios das aulas 17 e 18 

Como foi visto em aula, os logaritmos são utilizados para tornar números muito

grandes ou muito pequenos mais facilmente perceptíveis, associando-os a

números menores. Em vez de 107 ou 10-7, penso nos expoentes 7 ou no -7.

O logaritmo de um número N é apenas o expoente da potência de 10 que

expressa o valor de N:    log N = n   quer dizer que    10n = N.

Na verdade, qualquer outra base poderia ser utilizada, mas a conveniência da

base 10 nos cálculos cotidianos torna o começo do estudo por essa base mais

natural. Quando a base for diferente de 10, isso precisa ser destacado. Assim, se

N = ax  então x = logaritmo de N na base a = logaN.

De modo geral, os números que correspondem a potências inteiras da base têm

logaritmos inteiros; os outros, têm logaritmos fracionários, sendo a grande maioria

números irracionais. Desde o século XVII são construídas tabelas que fornecem

os valores aproximados de tais expoentes.

_____________________________________________________

1. Sendo dados os valores aproximados  log 2 = 0,30  e   log 3 = 0,47,

preencha a tabela abaixo:

N N = 10n n (log

1 1 = 100 0

2 2 = 100,30 0,30

3 3 = 100,47 0,47

4 4 = 100,6 0,6

5 5 = 100,7 0,7

6 6 = 100,77 0,77

8 8 = 100,9 0,9

9 9 = 100,94 0,94

10 10  = 101 1

12 12 = 101,07 1,07

15 15 = 101,17 1,17

18 18 = 101,24 1,24

20 20 = 101,3 1,3

N)

1

27 27 = 101,41 1,41

30 30 = 101,47 1,47

32 32 = 101,5 1,5

36 36 = 101,54 1,54

40 40 = 101,6 1,6

60 60 = 101,77 1,77

100 100 = 102 2

300 100 = 102,47 2,47

400 400 = 102,6 2,6

1000 1000 = 103 3

3000 3000 = 103,47 3,47

9000 9000 = 103,94 3,94

10000 10000 = 104 4

50000 50000 = 104,7 4,7

100000 100000 = 105 5

_________________________________________________

 Escala Richter para medir intensidade de Terremotos

A intensidade de um terremoto é expressa pelo número R tal que

onde a razão A/Ao representa a comparação, medida por um aparelho

chamado sismógrafo, entre a amplitude A das ondas de destruição com

uma amplitude de referência Ao. Como esta razão costuma ser um número

muito grande, ele é expresso por uma potência de 10; o expoente de tal

potência, ou seja, o logaritmo da razão, é a medida R em graus na escala

A energia que provoca a destruição está diretamente relacionada com a

amplitude das vibrações. Empiricamente, é utilizada uma fórmula para

relacionar o valor da medida R e o montante da Energia destruidora E: R =

0,67.log E – 3,25. A consequência prática é o fato de que a cada grau a

mais na escala R, o valor de E cresce cerca de 31,6 vezes.

Um terremoto de 2 graus na escala Richter é, então, 10 vezes maior do

que um terremoto de 1 grau, uma vez que 2 e 1 são expoentes de

2

potências de 10; entretanto, a energia correspondente é 31,6 vezes maior

a cada grau R a mais.

Os exercícios seguintes explorarão tais fatos.

_______________________________________________

1. Complete a tabela abaixo:

Escala Richter

0 1 1

1 10 31,6

2 100 31,62 = 1000  (aprox.)

3 1000 31,63 = 31 555 (aprox.)

4 10000 31,64 = 997 122

5 100000 31,65 =

6 1000000 31,66

7 10000000 31,67

8 100000000 31,68

9 1000000000 31,69

Amplitude

(n x valor de referência)

Energia

(n x valor de referência)

_______________________________________________________

A fórmula química da água é H2O; entretanto, mesmo a mais pura, contém cátions

H+ dissociados de ânions OH-. A quantidade de tais íons dissociados é

relativamente pequena: cerca de 1 íon grama de H+ para cada 107 litros de água.

(Apenas para comparação, uma caixa d’água costuma ter 1000 litros de água;

existiria, então, 1 íon grama de H+ para cada 10 000 caixas d’água...)

É a atividade dos H+ que corresponde à sensação de acidez, quando se ingere um

líquido, por exemplo. Para baixas concentrações, tal atividade pode ser

identificada com a concentração de tais íons. Numa limonada, que é mais ácida

do que a água, existe cerca de 1 íon grama de H+ para cada 102 litros. Em uma

substância básica, usada para combater a acidez, como o leite de magnésia, ou

um sal de frutas, existe muito menos: cerca de 1 íon grama para cada 1012 litros.

Ao se ingerir uma substância básica, o efeito produzido é o da diluição dos H+,

com a diminuição da acidez.

3

O que se chama pH (potencial hidrogeniônico) é, então, o expoente de 10 na

concentração de H+. O logaritmo é negativo, nessa concentração, uma vez que,

no caso da água, por exemplo, temos a razão 1/107, ou 10-7 como concentração

Na prática, no entanto, constrói-se uma escala que vai de 0 a 14, ou seja,

caracteriza-se a acidez pelo simétrico da concentração de H+. Em tal escala, a

água encontra-se no meio, tendo pH igual a 7. Entre 0 e 7, encontram-se as

substâncias ácidas; entre 7 e 14, as básicas.

Os exercícios abaixo exploram tais fatos.

______________________________________________________

1. Complete a tabela abaixo:

Medida de Acidez:

Natureza:

Substância

Ácida ou Básica

Concentração de H+

1 H+ para cada ...litros

1            1/10 = 10-1 10

2 1/10² = 10-2 102

3 1/10³ = 10-3 10³

5 1/105 = 10-5 105

7 Neutra 107

9 1/109 = 10-9 109

11 1/1011 = 10-11 1011

13 1/1013 = 10-13 1013

A ideia de logaritmo é igualmente fecunda qualquer que seja a base em que

calculamos os expoentes. Na base 10, os logaritmos (decimais) são

representados simplesmente por log; se outra for a base escolhida, tal escolha

precisa ser indicada. Somente interessam nos cálculos bases positivas e

diferentes de 1, uma vez que as potências de base 1 são repetitivas...

 Se escolhemos uma base qualquer a, nessas condições, temos, então:

N = ax, então x = loga N.

4

Uma base particularmente importante nos dias atuais é a base 2, em razão de

seu uso intenso no projeto e na utilização de computadores. Naturalmente, uma

questão que se coloca é a de como determinar os logaritmos em uma base b,

diferente de a, quando são conhecidos os logaritmos na base a. Tal mudança de

base resultará de uma conta simples: para obter-se o logaritmo na base nova,

basta dividir o logaritmo na base velha pelo logaritmo da base nova (na base

logb N = loga N / loga b      (por exemplo, log2 N = log N / log 2)  

A justificativa e a exploração de tal fato será objeto dos exercícios seguintes.

______________________________________________________

1. Sendo dado log N, encontrar o log2 N.

2. Demonstre que, sendo a e b números positivos e diferentes de 1, temos:

logb N = loga N / loga b  

R: Como exemplo: log2 4 =  =  = 2

3. Sendo dados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47 calcule log23 e log3 2

R: log2 3 =  =  = 1,6 (aprox.)

     log3 2 =  =  = 0,4 (aprox.)

4.  Complete a tabela abaixo:

(os cálculos podem ser apenas indicados)

log2 N log3 N log6N

10 1 =3,3 =2,13 =1,3

100 2 =6,6 =4,25 =2,6

1000 3 =10 =6,38 =3,9

2 0,30 =1 =0,64 =0,4

3 0,47 =1,56 =1 =0,6

6 0,77 =2,56 =1,64 =1

50 1,7 =5,66 =3,62 =2,3

300 2,47 =8,23 =5,25 =3,2

 

Aula 19

 

Questão 1 -  Observe a representação da circunferência trigonométrica com a extremidade final do arco de medida x assinalado.

Determine o valor de:

a) cos x            = = 5                  b) sen x =  =

   =

 

 

 

Questão 2 - Observe os gráficos das funções y = senx e y = cosx. Neles, é possível observar os valores dos senos e cossenos dos arcos notáveis e também de seus simétricos em relação aos eixos horizontal e vertical.  

 

 

Preencha as tabelas seguintes a partir das características observadas nesses gráficos:
 

Função: y = senx
	1o quadrante	2o quadrante	3o quadrante	4o quadrante
Quadrantes	0 < x <		p < x <
Crescente ou decrescente	Crescente +	Decrescente +	Decrescente -	Crescente +
Sinal da função

 

Função: y = cosx
	1o quadrante	2o quadrante	3o quadrante	4o quadrante
Quadrantes	0 < x <		p < x <
Crescente ou decrescente	Decrescente +	Decrescente -	Crescente -	Crescente +
Sinal da função

 Questão 3 - Desenhe dois períodos do gráfico da função f(x) = 3sen 4x.

 

 

 

 

 

Questão 4 - Qual é a equação da função, cujo gráfico é representado a seguir?

A equação trigonométrica apresenta-se assim: a+b.sen.c.x+d=y 

Temos que o período é 10π, mostrado no gráfico. E o período é calculado assim: P =               

A imagem é: (-b+a), (b+a); como no gráfico passa pelo 0 zero então a=0.

Substituindo na equação temos:

R:

 

 

 

 

Aula 20

 

 

Questão 1-  Qual é o período e a imagem da função f(x) = 3 + 4 sen ? Faça um esboço do gráfico da função.

 

R: P =  = π

Im = , 7)

 

Questão 2 -  Suponha a existência de um fenômeno que ocorra regularmente, de tempos em tempos, mantendo suas características, envolvendo uma grandeza M variando ao longo do tempo t. Nessas condições, esse fenômeno é periódico e, vamos supor, que a intensidade da grandeza M (medida em centímetros) varie em função do tempo t (dado em minutos) de acordo com a equação:

Determine o período e a imagem dessa função

R:

P = π

Im =

Questão 3 -   O gráfico seguinte apresenta, de forma simplificada, as alturas das marés altas em certo ponto do litoral. Nesse gráfico, y = 0 representa a linha sobre a qual estão registradas observações da maré de altura média.

 

A equação que podemos escrever para representar esse gráfico é:

y = 0,5 cos

Nessa equação, x é o dia de observação e y é a altura, em metros, da maré alta nesse dia de observação. Note que há uma linha horizontal traçada por y = 0,25 m, e que essa linha cruza o gráfico em vários pontos. Quais são as abscissas desses pontos, ou, em outras palavras, em quais dias, no período considerado, foram observadas marés com 0,25 m de altura acima da média?

R: observando o gráfico temos que a maré enche em ¼ do período, como o período é 15, fica 3,75 dias com maré alta e há ¾ do período com maré baixa ou 11,25 dias.

 

Questão 4 - Observe o gráfico da função f(x) = 1 + sen . Nele, foram assinalados 3 valores A, B e C. Quais são esses valores?

 

Questão 5 - A temperatura aproximada (T) de determinada localidade varia periodicamente de acordo com a seguinte equação:

T = 7 + 50.sen

Nessa equação, o tempo t é dado em dias, t = 0 corresponde ao 1^o dia de janeiro, e a temperatura T é medida na escala Fahrenheit.

a) Qual é a temperatura da referida cidade, em °C, em 26 de maio?

R: T = 7 + 50.sen , até o dia 26 de maio temos 146 dias, substituindo na formula:

C / 5 = (F - 32) / 9

 1,59             

 

 

 

b) Qual é a máxima temperatura dessa cidade? Em qual dia do ano ela ocorre?

R: a imagem é:

Ela ocorreu no dia 31 de março.